Economie : Une dérivée de fonction, c’est quoi? Et ça sert à quoi en économie?

Economie : Une dérivée de fonction, c’est quoi? Et ça sert à quoi en économie?

(Attention : cet article a pour but l’explication de l’utilité concrète du concept mathématique de dérivées de fonctions, les notions et les exemples ont place dans un marché parfait et sont simplifiés au maximum).

Les dérivées de fonctions font partie intégrante du programme de maths en école secondaire, généralement en 6ème année. Lorsqu’on les rencontre pour la première fois, on a souvent du mal à en trouver une utilité concrète. Pourtant, les dérivées de fonctions ont un rôle très important en économie. Voyons cela en détails.

Mais au fait, c’est quoi une dérivée?

Le principe de base de la dérivation de fonction peut paraître obscur au premier abord, mais il est en réalité simple à comprendre. Partons du constat que toute fonction possède une représentation géométrique sous forme de graphique. Voici par exemple, un graphique représentant une fonction.

Dérivée de fonctions

Dériver la fonction en un point va permettre de tracer une droite tangente à la fonction à l’endroit définit par ce point. Concrètement, elle permettra de voir si la fonction va vers le bas, le haut ou reste stable à un endroit précis. Reprenons notre fonction, et observons la dérivée en un point.

tengeante

On peut donc observer qu’à l’endroit du point rouge, la fonction est décroissante. Bien sûr, en ayant le graphique sous les yeux, cela semble être évident. Mais si nous n’avions la fonction que sous sa forme algébrique, utiliser une dérivée aurait été indispensable.

Exemple d’utilisation de la dérivée en économie

Imaginons maintenant une entreprise produisant des téléphones, voici une fonction représentant le profit qu’elle réalise en fonction du nombre d’unités produites.

dérivée du profit

Petit rappel, le profit représente ce que l’on gagne réellement sur les ventes. C’est à dire le prix de vente diminué du coût de production.

Nous pouvons observer que son profit augmente jusqu’à un certain nombre d’unités, puis qu’il diminue ensuite. Le but sera donc de trouver le nombre d’unité à produire avant que le profit chute (représenté sur le graphique par un point rouge). Encore une fois, il s’observe facilement sur un graphique, mais pour tracer ce graphique, il faudra dériver la fonction.

Si nous devions tracer la tangente au point rouge sur le graphique précédent, elle serait horizontale, car à cet instant la fonction de profit arrive à son maximum. Si la tangente est horizontale, alors la dérivée vaut zéro et le profit est à son maximum.

Trouver la quantité optimale à produire en faisant la dérivée d’une fonction de production

Concrètement, si nous avons une fonction de production, nous pouvons la dériver et l’égaliser à zéro afin de déterminer la quantité optimale à produire pour maximiser le profit.

Fonction de profit : 40q – q²/3

Dérivée de la fonction de profit par rapport à q : 40 – 2q/3

Egalisation à zéro : 40 – 2q/3 = 0  <=> 40 = 2q/3 <=> q = 60

La quantité idéale à produire, afin de maximiser son profit, pour cette fonction de production vaut 60. En effet, si on produit 60 exemplaire, notre profit vaudra 1200 (40*60 – 60²/3). Mais si on n’en produit 59 ou 61, le profit ne vaudra plus que 1199,66.

Conclusion sur les dérivées

Les dérivées paraissent, de premier abord, très abstraite. Elles sont, cependant, un concept important dans de nombreux domaines, dont l’économie où elles permettent par exemple de maximiser le profit d’une société.

Article écrit par Bertrand Bourgy

Diplômé de la Louvain School of Management, je suis maître-assistant en sciences économiques et informatiques à la Haute Ecole Provinciale de Hainaut Condorcet. Je travaille également en tant qu'attaché à l'innovation et au développement dans la même Haute Ecole.

1 commentaire

  1. merci Bertrand, de ces renseignements qui transforme les sciences abstraits en sciences concrets.

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